2022년 해법 수학경시대회 기출문제 1-1 8절 /천재교육

해법 수학경시대회 문제 1-1 8절 문제: 다음 두 식의 극한값을 구하여라. \\[ \\lim_{{x \\to 0}} \\frac{ \\sin{2x} }{x} \\] \\[ \\lim_{{x \\to 0}} \\frac{ x - \\sin{x} }{x^3} \\] 해설: 1) 첫 번째 식의 경우, \\[ \\lim_{{x \\to 0}} \\frac{ \\sin{2x} }{x} \\] 여기서 x를 0으로 보내면 분자는 0이 되고 분모는 0이 되기 때문에 형태가 0/0이므로 미정 형태이다. 따라서 미분을 이용하여 풀어보자. \\[ f(x) = \\sin{2x} \\] \\[ f'(x) = 2 \\cos{2x} \\] \\[ g(x) = x \\] \\[ g'(x) = 1 \\] \\[ \\lim_{{x \\to 0}} \\frac{ \\sin{2x} }{x} = \\lim_{{x \\to 0}} \\frac{ f'(0) }{ g'(0) } = \\frac{ 2 \\cos{0} }{ 1 } = 2 \\] 따라서 첫 번째 식의 극한값은 2이다. 2) 두 번째 식의 경우, \\[ \\lim_{{x \\to 0}} \\frac{ x - \\sin{x} }{x^3} \\] 분자를 테일러 급수로 전개하면, \\[ x - \\sin{x} = x - (x - \\frac{x^3}{3!} + \\frac{x^5}{5!} - ...) = \\frac{x^3}{3!} - \\frac{x^5}{5!} + ... \\] 따라서, \\[ \\lim_{{x \\to 0}} \\frac{ x - \\sin{x} }{x^3} = \\lim_{{x \\to 0}} \\frac{ \\frac{x^3}{3!} - \\frac{x^5}{5!} + ... }{x^3} = \\lim_{{x \\to 0}} \\frac{ 1 }{3!} - \\frac{x^2}{5!} + ... = \\frac{1}{6} \\] 따라서 두 번째 식의 극한값은 1/6이다.